マセマ キャンパス・ゼミ 線形代数線形空間と写像

マセマのキャンパス・ゼミ 線形代数で勉強したことをまとめる。言葉の定義で迷うことがあったら、適宜ここを参照しながら読む。

【定義】線形空間

集合$V$の任意の元（要素）$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$ および$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$に対して以下の性質を満たすときに$V$ を実数$\mathbb{R}$ 上の線形空間という。

1. 和の定義：$\mathit{a}+\mathit{b}\in V$
2. 和の結合法則：$(\mathit{a}+\mathit{b})+\mathit{c}=\mathit{a}+(\mathit{b}+\mathit{c})$
3. 和の交換法則：$\mathit{a}+\mathit{b}=\mathit{b}+\mathit{a}$
4. 和について零元の存在：$\mathit{a}+\mathbf{0}=\mathbf{0}+\mathit{a}=\mathit{a}$ となる元$\mathbf{0}$ が一意に定まる。
5. 和について逆元の存在：$\mathit{a}+\mathit{x}=\mathit{x}+\mathit{a}=\mathbf{0}$ となる元$\mathit{x}$が一意に定まる。
6. スカラー倍の定義：$\lambda \mathit{a}\in V$
7. $1\cdot \mathit{a}=\mathit{a}$
8. 積の分配法則：$\lambda (\mathit{a}+\mathit{b})=\lambda \mathit{a}+\lambda \mathit{b})$
9. 積の分配法則：$(\lambda +\mu )\mathit{a}=\lambda \mathit{a}+\mu \mathit{a}$
10. 積の結合法則：$(\lambda \mu )\mathit{a}=\lambda (\mu \mathit{a})$

【定義】線形結合

線形空間$V$ の元${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$について、多項式 $${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{c}_i{\mathit{a}}_{\mathit{i}}(c_1,c_2,\dots c_n\in \mathbb{R})}}$$ を線形結合という。

【定義】線形独立と線形従属

線形空間$V$ の元${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$について、線形関係式 $${\displaystyle {\displaystyle \sum _{i=1}^n{c}_i{\mathit{a}}_{\mathit{i}}=0(c_1,c_2,\dots c_n\in \mathbb{R})}}$$ を考える。
自明な解$c_1=c_2=\dots =c_n=0$ 以外の解を持たないとき、${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$ は線形独立という。
自明な解以外を持つとき、${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$ は線形従属であるという。

【定義】基底

線形空間$V$ の元の組$\{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}\}$ が次の性質を満たすときに$V$ の基底という。
(1) ${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$ は線形独立である。
(2) $V$ の任意の元$x$ は${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},\dots ,{\mathit{a}}_{\mathit{n}}$ の線形結合で表せる。

例えば、3次元列ベクトル空間${\mathbb{R}}^3$ およびその元である $${\displaystyle {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right],{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right],{\mathit{a}}_{\mathbf{4}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right]}$$ を考える。

• 元の組$\{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},{\mathit{a}}_{\mathbf{3}}\}$ は上記(1), (2)をともに満たすので基底となる。
• 元の組$\{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}},{\mathit{a}}_{\mathbf{3}},{\mathit{a}}_{\mathbf{4}}\}$ は線形独立ではなく（${\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}-{\mathit{a}}_{\mathbf{4}}=0$）、(1)を満たさないので基底とならない。
• 元の組$\{{\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\}$ のみでは(2)満たさないので基底とならない。

【定義】次元

線形空間$V$ の基底を構成する元の個数を、その線形空間$V$ の次元といい、 $${\displaystyle \dim V}$$ と表す。

【定義】部分空間

線形空間$V$の部分集合 $W$ が$W\ne \varnothing$ であり、$W$ が線形空間であるとき、$W$ を $V$ の部分空間という。

部分空間となる条件

集合$W$を線形空間$V$ の部分集合とし、${\mathit{a}}_{\mathbf{1}},{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\in W$、$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$とする。 集合$W$ は$V$の部分空間、つまり$W$が線形空間である必要十分条件は $${\displaystyle \lambda {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\in W}$$ である。

(i) $\lambda {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\in W⟹W$は線形空間 の証明

十分条件は、先述の線形空間の条件(1), (6)つまり和、スカラー倍が集合$W$内に存在することを示している。

$W\in V$ なので、集合$W$ の元の和、スカラー倍もまた集合$W$ 内の元であるとき、条件(2), (3), (7), (8), (9), (10)は満たす。

条件(4) 零元$\mathbf{0}$の存在に関しては、線形空間$V$での$\mathbf{0}$ が集合$W$ 内に存在すればよい。 これは上記の式に$\lambda =\mu =0$ を代入すれば得られるので、集合$W$内に存在するといえる。

条件(5) 逆元$\mathbf{-}{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}$の存在に関しては、同様にして線形空間$V$ での$\mathbf{-}{\mathit{a}}_{\mathbf{1}}$ が集合$W$ 内に存在すればよく、これは上記の式に$\lambda =-1,\mu =0$を代入すれば得られる。

(ii)$W$は線形空間$⟹\lambda {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\in W$の証明

逆に、集合$W$が線形空間であれば、和、スカラー倍が定義されるので、上記を満たす。

【定義】線形写像

$V,V^{\prime }$を$\mathbb{R}$上の線形空間とする。写像$f:V\to V^{\prime }$を考える。
任意の元${\mathit{a}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{a}}_{\mathbf{2}}\in V$、任意の実数$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$について $${\displaystyle f(\lambda {\mathit{a}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{a}}_{\mathbf{2}})=\lambda f({\mathit{a}}_{\mathbf{1}})+\mu f({\mathit{a}}_{\mathbf{2}})}$$ となるとき、$f$を$V$から$V^{\prime }$への線形写像という。

線形写像の性質

$V,V^{\prime }$を$\mathbb{R}$上の線形空間とし、線形写像$f:V\to V^{\prime }$を考える。
$\text{Im}f=f(V)$は$V^{\prime }$の部分空間である。

${{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{\prime }}\mathbf{,}{{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{\prime }}\in V^{\prime }$、$\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$とする。

$V^{\prime }$は線形空間なので、$\text{Im}f$が線形空間であること、つまり $${\displaystyle \lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{\prime }}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}^{\mathbf{\prime }}\in \text{Im}f}$$ を示す。

このとき $${\displaystyle \begin{array}{r}\{\begin{array}{l}{{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{\prime }}=f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})\\ {{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{\prime }}=f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})\end{array}\end{array}}$$ となる${\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in V$が存在する。

$V$は線形空間なので、 $$\begin{array}{}\text{(*)}& {\displaystyle \lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in V}\end{array}$$ であり、また、 $${\displaystyle \lambda f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})+\mu f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})=f(\lambda x_1+\mu x_2)}$$ である。

これを用いて $${\displaystyle \begin{array}{rcl}\lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}^{\mathbf{\prime }}+\mu {{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{\prime }}& =& \lambda f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})+\mu f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})\\ & =& f(\lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}})\end{array}}$$ と変形できる。

ここで式(*)より $${\displaystyle f(\lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}})\in \text{Im}f}$$ が導ける。

【定義】核

線形写像$f:V\to V^{\prime }$について。線形空間$V^{\prime }$における零元を${\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}$とする。このとき $${\displaystyle \text{Ker}f=\{\mathit{x}\in V|f(\mathit{x})={\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}\}}$$ と定義し、$\text{Ker}f$を$V$の$f$による核という。

つまり、写像$f$によって零元に変換される$\mathit{x}(\mathit{x}\in V)$の集合である。

核の性質

線形写像$f:V\to V^{\prime }$について。$\text{Ker}f$は$V$の部分空間である。

核の定義より、$\text{Ker}f$は$V$の部分集合なので、$\text{Ker}f$が線形空間であることを示せばよい。

そのために任意の元${\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in \text{Ker}f$、任意の数$\lambda ,\mu$について $$\begin{array}{}\text{(*)}& {\displaystyle \lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in \text{Ker}f}\end{array}$$ となることを示す。

$f$は線形写像なので、 $${\displaystyle \begin{array}{rcl}f(\lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}})& =& \lambda f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})+\mu f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})\\ & =& \lambda {\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}+\mu {\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}\\ \text{(**)}& & =& {\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}\end{array}}$$ となる。ただし、${\mathbf{0}}^{\mathbf{\prime }}$は線形空間$V$における零元とする。

${\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}$は線形空間$V$の元なので、 $$\begin{array}{}\text{(***)}& {\displaystyle \lambda {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}+\mu {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in V}\end{array}$$ がいえる。

(**), (***)より(*)が示せた。

【定義】全射

集合$X=\{\mathit{x}\},Y=\{\mathit{y}\}$、写像$f:X\to Y$について。
$\text{Im}f=Y$のとき、写像$f$は全射であるという。

つまり、集合$Y$の任意の元$\mathit{y}$について、対応する集合$X$中の元$\mathit{x}$が存在するということである。 このとき$\mathit{x}$は一意でなくてよい。

例として$X=\{x|x\ne (2n+1)\pi ,x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}\},Y=\{y|y\in \mathbb{R}\},f(x)=\tan x$を考える。

任意の$y$について、対応する$x$が存在する。 ただし、それは複数個あり、全射であって単射ではない。

【定義】単射

集合$X=\{\mathit{x}\},Y=\{\mathit{y}\}$、写像$f:X\to Y$について。
任意の元${\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}{\mathit{x}}_{\mathbf{2}}\in X$について、 $${\displaystyle {\mathit{x}}_{\mathbf{1}}\ne {\mathit{x}}_{\mathbf{2}}⟹f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})\ne f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})}$$ が成り立つとき、写像$f$は単射であるという。

つまり、集合$X$の任意の元$\mathit{x}$に対応する集合$Y$中の元$\mathit{y}$がそれぞれ別の値になっているということである。 このとき$\text{Im}f\ne Y$でもよい。

例として$X=\{x|x\in \mathbb{R}\},Y=\{y|y\in \mathbb{R}\},f(x)={\tan }^{-1}x$を考える。

任意の$x$について対応する$x$が存在し、それらはすべて違う値である。 ただし、$\text{Im}f=\{y|-{\displaystyle \frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}\}⫋Y}$であり、写像$f$は単射ではあるが全射ではない。

単射の証明の場合は、対偶である $${\displaystyle f({\mathit{x}}_{\mathbf{1}})=f({\mathit{x}}_{\mathbf{2}})⟹{\mathit{x}}_{\mathbf{1}}={\mathit{x}}_{\mathbf{2}}}$$ を考えると良い。

全単射、同型写像

写像$f:X\to Y$が全単射（全射かつ単射）であるとき、$f$を同型写像という。
また、$X$と$Y$は同型であるという。

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