Twitterでみつけた面白いツイートを取り上げる．こういうのを考え付く人って凄い！天才！！尊敬する！！！
「九九の7の段が難しいんだよね」
— ポテト一郎?? (@potetoichiro) March 20, 2021
「7000÷9801で考えると楽だよ」
「7000÷9801
=0.7 14 21 28 35 42 49 56 63 70…
ほんとだ！！！！」 https://t.co/1R1pZq03pY
\[ \displaystyle S = \sum_{k=1}^\infty\frac{kn}{10^{2k-1}} \] を求めよ．
\[ \begin{eqnarray} \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} S &=& \displaystyle\frac{n}{10^{1}} + &\displaystyle\frac{2n}{10^{3}}& + &\displaystyle\frac{3n}{10^{5}}& + &\displaystyle\frac{3n}{10^{7}}& ... \\ \displaystyle \frac{S}{10^2} &=& &\displaystyle\frac{n}{10^3}& + &\displaystyle\frac{2n}{10^5}& + &\displaystyle\frac{3n}{10^7}& + ... \end{array} \right. \end{eqnarray} \]
両辺を引くと， \[ \begin{eqnarray} \displaystyle \displaystyle\frac{99}{100}S &=& \sum_{k=1}^\infty\frac{n}{10^{2k-1}} \\ &=& \frac{n}{10}\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{100^{k-1}} \\ &=& \frac{n}{10}\cdot \frac{1}{1-\displaystyle\frac{1}{100}} \\ &=& \frac{10}{99}n \end{eqnarray} \]
よって \[ \displaystyle S = \frac{1000n}{9801} \]