\[\displaystyle \begin{eqnarray} ab+bc+ca = \frac{1}{2} \{(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2 \} = -6 \end{eqnarray} \]
\[\displaystyle \begin{eqnarray} x+y &=& (b-c)+(c-a) \\ &=& b-a \\ &=& -2 \sqrt{5} \end{eqnarray}\]
また、問(1)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2+y^2 &=& (b-c)^2+(c-a)^2 \\ &=& 38 - (a-b)^2 \\ &=& 18 \end{eqnarray}\]
よって \[\displaystyle \begin{eqnarray} xy = \frac{1}{2}\{ (x+y)^2-(x^2+y^2)\} = 1 \end{eqnarray}\]
求めるべき角度を\(\theta'\)とする。
このとき \[\displaystyle \begin{eqnarray} \tan {\theta}' &=& \frac{\rm{真のBC}}{\rm{真のAC}} \\ &=& \frac{\rm{偽のBC}\cdot 25,000}{\rm{偽のAC}\cdot 100,000} \\ &=& \frac{1}{4}\tan16^\circ \\ &{\fallingdotseq}& 0.072 \end{eqnarray}\]
小数第4位を四捨五入する必要があるんだが、四捨五入せずに切り捨てたため、誤答となって点を失った。 数学の問題で小数計算させるのってなんか違う気がするんだよなあ。
よって三角比の表より \[\displaystyle \begin{eqnarray} 4^\circ \lt {\theta}' \lt 5^\circ \end{eqnarray}\]
外接円の半径を\(R\)（\(R=3\)）とおく。
正弦定理より \[\displaystyle \begin{eqnarray} \sin{\rm{B}}&=&\frac{\rm{AC}}{2R} &=& \frac{2}{3} \end{eqnarray}\]
△ABDに着目して、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} {\rm{AD}} &=& {\rm{AB}}\sin{\rm{B}} &=& \frac{10}{3} \end{eqnarray}\]
最初\(\rm{AB}\gt 0, \rm{AC}\gt 0\)以外の条件が存在するのか分からなかった。
AB、ACはともに半径\(R (=3)\)の円の中に存在するので \[\displaystyle \begin{eqnarray} 0 < {\rm{AB}} \leq 2 R \\ 0 < {\rm{AC}} \leq 2 R \end{eqnarray}\] を満たす必要がある。
ここで、仮定より\( {\rm{AC}} = 14-2 {\rm{AB}} \)なので \[\displaystyle \begin{eqnarray} 4 &\leq& {\rm{AB}} \leq 6 \end{eqnarray}\]
問(1)と同様に \[\displaystyle \begin{eqnarray} {\rm{AD}} &=& {\rm{AB}}\sin{\rm{B}} \\ &=& \frac{{\rm{AB}}\cdot{\rm{AC}}}{2R} \\ &=& -\frac{1}{3}{{\rm{AB}}}^2+\frac{7}{3}{\rm{AB}} \\ &=& -\frac{1}{3}(\rm{AB}-\frac{7}{2})^2+\frac{49}{12} \end{eqnarray}\]
よって、\(\rm{AB}=4\)のとき\(\rm{AD}\)は最大値\(4\)をとる。
\((p, q)=(4, -4)\)のとき式(1)は \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 + 4x -4 &=& 0 \\ x &=& -2\pm 2\sqrt{2} \end{eqnarray}\] 式(2)は \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 - 4x +4 &=& 0 \\ x &=& 2 \end{eqnarray}\] となる。
よって \[\displaystyle \begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}\]
また、\((p, q)=(1, -2)\)のとき式(1)は \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 + x -2 &=& 0 \\ x &=& -2, 1 \end{eqnarray}\] 式(2)は \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 - 2x +1 &=& 0 \\ x &=& 1 \end{eqnarray}\] となる。
よって \[\displaystyle \begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}\]
異なる実数解の個数、という認識でいいんだよね？
よくわからんので、まずは会話文に従って\( \alpha, q \)を求める。
会話文より \[\displaystyle \begin{eqnarray} && \alpha^2 - 6\alpha +q = \alpha ^2 +q \alpha -6 = 0 \tag{*} \\ &\Rightarrow& - 6\alpha +q = q \alpha -6 \\ &\Leftrightarrow& (\alpha-1)(q+6)=0 \end{eqnarray}\] である。
マークシートの解答欄を見る限り、\( q = -6\)はなさそう。一応吟味はしているが、解答時にはそこまで考えていなかった。
ここで、\(q = -6 \)とすると、式(1)、式(2)が同一の2次方程式（\(x^2 - 6x - 6=0\)）となり、高々\(n = 2\)となってしまうので不適。
よって\[\alpha=1\]
これを式(*)に代入すると\[q=5\]が得られる。
このとき2次方程式(1)を解くと \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 - 6x +5 &=& 0 \\ \ x &=& 1, 5 \end{eqnarray}\]
2次方程式(2)を解くと \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 + 5x -6 &=& 0 \\ \ x &=& -6, 1 \end{eqnarray}\] であり、\(n=3\)となる。
本番はマークシートなのでいちいち厳密に考える必要はないが、これを言及しておかないと、2つの2次方程式が両方の解を共有していて\(n=2\)になる可能性や、重解を持つために\(n \leq 2\)となる可能性があるため、言及する必要がある。
ほんでもって、\(q\)の値は2つあるはずだが、これだけだと1つしか求まっていない。花子が「ほかの方法」と言っているが、問(1)での重解を持つパターンが参考になる。
また、一方の方程式が重解を持ち、もう一方がその重解とは異なる2実数解を持つパターンも考えられる。
まず、方程式(1)が重解を持つ場合を考える。
方程式(1)の解の判別式を\(D_1\)とすると、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{D_1}{4} = -q+9\\ \end{eqnarray}\] なので、\({D_1}=0\Leftrightarrow q=0 \)のとき重解を持つ。
本番ではこんな面倒な計算をしなくても、\( q=9 \)で重解を持つのはすぐわかる。
また、方程式(2)の解の判別式を\(D_2\)とすると、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} D_2 = q^2 + 24 > 0 \quad (\because q \in \mathbb{R}) \end{eqnarray}\] なので、方程式(2)は常に異なる2実数解を持つ。
\(q=9 \)のとき方程式(2)は \[\displaystyle \begin{eqnarray} x^2 + 9x -6 &=& 0 \end{eqnarray}\] となり、\(x \neq 3\)である異なる2実数解をもつので、\(n=3\)となる。
マークシート欄から方程式(1)の方が重解を持つ場合のみ考えればよいことが分かるので、この辺の吟味は実際は省略してよい。
以上より、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} q=5, 9 \end{eqnarray}\]
式(3)、式(4)をそれぞれ変形すると \[\displaystyle \begin{eqnarray} y &=& (x-3)^2+q-9 \tag{3}\\ y &=& (x+\frac{q}{2})^2-\frac{q^2}{4}-6 \tag{4} \end{eqnarray}\]
この2つのグラフが動く方向を考えればよいのだが、移動前が点線、移動後が実線になることを失念しないように。
\(q=5\)のとき、2つの放物線は1点を共有している状態。 \(q\)が増加するにしたがって、2つの放物線は明後日の方向に行き始める。 つまり，常に\(A\cap B=\phi\)なんだ。 それに気づけば解けるんだが、時間がないのもあってup主は誤答した。 しかも完全解答じゃないと点数をもらえないのが痛い。
\(x \in A\)は\(x \in B \)の必要条件でも十分条件でもない．
\(x\in B\ \Leftarrow x \in \overline{A} \)
ここで時間を食ったのが痛かった。 面倒くさい問題が多めな割には配点は15点と少ない。 なので、今年のように軟化した場合は、下手に高得点を狙って拘泥するよりかは早めに見切りをつける必要がある。
ウダウダと長文が書いてあるが、\(n=29\)であることが分かればよい。
なので、中央値は\(\frac{1+29}{2}=15\)番目、
第1四分位数は\(\frac{1+15}{2}=8\)番目、
第3四分位数は\(\frac{15+29}{2}=22\)番目（逆から8番目）である。
up主は順位を間違えて解いたが、1順位くらいなら同階級なので間違えない。
むしろ「階級値」を把握していなかったのが失点の原因。
階級値とは，その階級の中央値。
up主は「階級値」ではなく「値そのもの」と勘違いしていて、「同じ階級なら分かるわけないじゃん」と選択肢(3)を選んでしまった。
ここも完全解答じゃないと点数がもらえないのが痛い。
解答：上から(2), (2), (0), (0), (3)
実は縦軸「教員1人あたりの学習者数」からは絞り込めない。 横軸「教育機関1機関あたりの学習者数」から絞り込むんだが、それも結構めんどくさい。
「教育機関1機関あたりの学習者数」に着目する。
箱髭図から \[\displaystyle \begin{eqnarray} Q_1 &\lt& 100 \\ Q_3 &\lt& 250 \\ \rm{max} &\gt& 450 \end{eqnarray}\] がわかる。
選択肢(0)は\( Q_3 \gt 250 \)なので不適。
選択肢(1)は\( Q_1 \gt 100, \rm{max} \lt 450 \)なので不適。
選択肢(3)は\(Q_1 \gt 100\)なので不適。
解答：(2)
いや、これ面倒臭すぎるでしょう。
相関係数をRとすると、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} R = \frac{{\sigma}_{ST}}{{\sigma}_{S}{\sigma}_{T}} \fallingdotseq 0.63 \end{eqnarray}\]
え、これ電卓なしで計算するの！？
わからん。
2つの数字(1, 2)を並べ替えたときに、\(n\)番目が\(n\)以外の数になる（\(n=1, 2\)）確率を考えればよい。
その場合の数は(2, 1)の1通りのみである。
2つの異なる数字を並べ替える場合の総数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 2!=1 \rm{通り} \end{eqnarray}\]
よって求める確率は \[\displaystyle \frac{1}{2} \]
問(i)と同様に考える。
3つの数字(1, 2, 3)を並べ替えたときに、\(n\)番目が\(n\)以外の数になる（\(n=1, 2, 3\)）場合の数は(2, 3, 1), (3, 1, 2)の2通り。
時間が足りなくて焦っていたためか、up主はここの場合の数の列挙で間違える。 以降、芋蔓式に失点してしまうのであった……。
3つの数字の並べ方の総数は\( 3! \)通りなので、求める確率は \[\displaystyle \frac{2}{3!}=\frac{1}{3} \]
余事象を考える。
4回の交換を経ても交換会が終了しない確率は \[\displaystyle \begin{eqnarray} (1-\frac{1}{3})^4=\frac{16}{81} \end{eqnarray}\]
よって求める確率は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 1-\frac{16}{81}=\frac{65}{81} \end{eqnarray}\]
1回目の交換で4人のうち1人のみが自分のプレゼントを受け取り、残り3人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} _4 \mathrm{ C }_1 \cdot 2 = 8 \end{eqnarray}\]
up主は問(1)(ii)で間違えていたため、ここの空欄が合わずに混乱した。 しかし、問(1)(ii)が間違えているという可能性を考慮するには至らなかった。
4人のうち2人のみが自分のプレゼントを受け取り、残り2人が自分のプレゼント以外を受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} _4 \mathrm{ C }_2 \cdot 1 = 6 \end{eqnarray}\]
4人のうち3人のみが自分のプレゼントを受け取り、残り1人が自分のプレゼント以外を受け取る場合は存在しない。
4人全員が自分のプレゼントを受け取る場合の数は1通り。
以上より、少なくとも1人が自分のプレゼントを受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 8+6+0+1=15 \end{eqnarray}\]
ここで、1回目の交換でのプレゼントの受け取り方の総数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 4!=24 \end{eqnarray}\]
よって、1回目の交換で交換会が終了する場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 24-15=9\tag{*} \end{eqnarray}\]
この問題の答えだけなら、約分すればいいので、具体的な場合の数を求める必要ではないのだが、次問で必要になるため、ここで求めておく。
したがって、求める確率は \[\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{9}{24}=\frac{3}{8} \end{eqnarray}\]
ここで時間切れ！
問(2)と同様に考える。
5人中1人のみが自分のプレゼントを受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} _5 \mathrm{ C }_1 \cdot 9 = 45 \end{eqnarray}\]
2人のみが自分のプレゼントを受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} _5 \mathrm{ C }_2 \cdot 2 = 20 \end{eqnarray}\]
3人のみが自分のプレゼントを受け取る場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} _5 \mathrm{ C }_3 \cdot 1 = 10 \end{eqnarray}\]
4人のみが自分のプレゼントを受け取り、残り1人が自分のプレゼント以外を受け取る場合は存在しない。
5人全員が自分のプレゼントを受け取る場合の数は1通り。
交換でのプレゼントの受け取り方の総数は\( 5!\)なので、1回の交換で交換会が終了する場合の数は \[\displaystyle \begin{eqnarray} 5!-(45+20+10+0+1)=44\tag{**} \end{eqnarray}\]
よって、求める確率は \[\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{44}{5!}=\frac{11}{30} \end{eqnarray}\]
次のように事象X, Yを定める。
X：特定の4人が自分のプレゼント以外を受け取り、残り1人は自分のプレゼントを受け取る。
Y：5人全員が自分のプレゼント以外を受け取る．
このとき求める確率は\(P(Y|X \cup Y)\)である。
(*)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} N(X) = 9 \end{eqnarray}\]
(**)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} N(Y) = 44 \end{eqnarray}\]
事象X, Yは互いに排反なので、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} N(X \cup Y)=N(X)+N(Y) = 53 \end{eqnarray}\]
以上より \[\displaystyle \begin{eqnarray} P(X|X \cup Y)=\frac{N(Y)}{N(X \cup Y)}=\frac{44}{53} \end{eqnarray}\]
別解 \[\displaystyle \begin{eqnarray} P(X) &=& \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{40}\\ P(Y) &=& \frac{11}{30} \\ P(X \cup Y) &=& P(X) + P(Y) = {53}{120} \\ \therefore P(X|X \cup Y) &=& \frac{P(Y)}{P(X \cup Y)}=\frac{44}{53} \end{eqnarray}\]
今の時代は一次試験で整数問題が出るのですね（絶望）
\(5^4 \equiv 1 \pmod{2^4}\)なので \[\displaystyle \begin{eqnarray} {5^4}x-{2^4}y \equiv x \pmod{2^4} \end{eqnarray}\]
よって不定方程式(1)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} x \equiv 1 \pmod{2^4} \end{eqnarray}\]
したがって、\( x (x \in \mathbb{N}) \)が最小になるのは \[\displaystyle \begin{eqnarray} x=1 \end{eqnarray}\]
このとき不定方程式(1)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} y=\frac{1}{2^4}({5^4}-1)=39 \end{eqnarray}\]
\( x\)が2桁の自然数で最小値をとるのは、同様に考えて \[\displaystyle \begin{eqnarray} (x, y)=(17, 664) \end{eqnarray}\]
不定方程式(1)に\((x, y)=(1, m)\)を代入すると \[\displaystyle \begin{eqnarray} {5^4}={2^4}m+1 \end{eqnarray}\]
したがって \[\displaystyle \begin{eqnarray} {625^2}&=&{5^8} \\ &=& ({5^4})^2 \\ &=& ({2^4}m+1)^2 \\ &=& {2^8}{m^2}+{2^5}m+1 \end{eqnarray}\]
\(n \in \mathbb{Z} \)としたとき、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} {5^5}x-{625^2}={5^5}\cdot{2^5}n \end{eqnarray}\] とおける。
両辺を\(5^5\)で割って変形すると \[\displaystyle \begin{eqnarray} x={2^5}n+{5^3} \end{eqnarray}\]
\(n=0\)のとき\(x\)は3桁での最小値をとり、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} x={5^3}=125 \end{eqnarray}\]
このとき不定方程式(2)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} y&=& \frac{1}{2^5}({5^5}x-1)\\ &=& \frac{1}{2^5}({5^8}-1) \end{eqnarray}\]
問(2)より\( {5^8} = {2^8}{m^2}+{2^5}m+1 \)なので、これを代入して計算すると \[\displaystyle \begin{eqnarray} y&=& {2^3}{m^2}+m \\ &=& m(8m+1) \\ &=& 12207 \end{eqnarray}\]
え、これを計算するのは面倒じゃなイカ！？
今までと同様にして解く。 \(11^4\)が今までの\({5^4}=625\)に相当する。 最後の\(y\)の値は計算が非常に面倒にもかかわらず2点にしかならないので、捨て問とした方が良い。
与えられた不定方程式より、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} {11^5}x={2^5}y+1\equiv 1 \pmod{2^5}\tag{*} \end{eqnarray}\]
ここで、問題文より \[\displaystyle {11^4}={2^4}{m'}+1\tag{**} \] となるように自然数\(m' (=915)\)をおくことができる。
このとき、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} ({11^4})^2 &=& {2^8}{m'^2}+{2^5}{m'}+1 \equiv 1 \pmod {2^5}\tag{***} \end{eqnarray}\]
式(*), (***)より \[\displaystyle \begin{eqnarray} {11^5}x-({11^4})^2 \equiv 0 \pmod {2^5} \end{eqnarray}\]
\(11^5\)と\(2^5\)は互いに素なので、両辺を\(11^5\)で割ることができ、\[\displaystyle \begin{eqnarray} x-{11^3} \equiv 0 \pmod {2^5} \end{eqnarray}\] となる。
よって、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} x \equiv {11^3} \equiv 19 \pmod{2^5} \end{eqnarray}\]
したがって、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} \min x=19 \end{eqnarray}\]
このとき、与えられた不定方程式より、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} y&=& \frac{1}{2^5}(11^5-1)\\ \end{eqnarray}\]
ここで、式(**)を代入すると \[\displaystyle \begin{eqnarray} y&=& \frac{1}{2^5} \{ 11\cdot ({2^4}m'+1)x -1 \} \\ &=& \frac{1}{2^5} ( 11\cdot{2^4}m'x + 11x-1 ) \\ \end{eqnarray}\]
\( 11x-1 = {2^4}\cdot 13 \)なので、 \[\displaystyle \begin{eqnarray} y&=& \frac{1}{2}(11m'x + 13) &=& 95624 \end{eqnarray}\]