Twitterでみつけた面白いツイートを取り上げる．こういうのを考え付く人って凄い！天才！！尊敬する！！！
tweet
空ってどこら辺からどこら辺までの人が同じの見てるんだろう
— 相羽 ういは ????(あいばういは)@にじさんじ (@AibaUiha) July 27, 2021
問題
円C：\(x^2 + y^2 = r^2 \)（ \(r \lt 0\) ）を \(x\) 軸を中心にして回転させた球体を考える． \(x\) 軸上の点P（\( p, 0\)）（\( p \lt r \)）から球体に光を当てた際に光が映る部分の面積を求めよ．
解答例
点Pから円Cに引いた接線について，第1象限にある接点を点H(\(r \cos \alpha, r \sin \alpha\))（ただし，∠POH\(=\alpha, 0 \lt \alpha \lt \displaystyle\frac{\pi}{2} \)）とおく．
また，線分OPと \( x \) 軸との交点を点Q(\(r, 0\)) とおく．
求めるべき面積をSとすると，Sは円弧HQを \( x \) 軸を中心に回転させたものとなる．
△POHは∠OHP \( = \displaystyle\frac{\pi}{2} \) の直角三角形なので，\(\displaystyle \cos \alpha = \frac{\mathrm{OH}}{\mathrm{OP}} = \frac{r}{p}\)
また，円Cは，第1象限において\( (x, y) = (r\cos \theta, r \sin \theta) \) （\(0 \lt \theta \lt \displaystyle\frac{\pi}{2}\)）と表せる．
したがって，求める面積は \[\begin{eqnarray} S &=& \int_{\theta = 0}^{\theta = \alpha} (2 \pi y \cdot r d \theta) \\ &=& \int_{\theta = 0}^{\theta = \alpha} 2 \pi r^2 \sin \theta d \theta \\ &=& 2 \pi r^2 (1 - \cos \alpha) \\ &=& \frac{2 \pi r^2 (p-r)}{p} \end{eqnarray}\] となる．