ロピタルの定理のざっくばらんな証明．マセマの本，オンライン上のPDFファイルで勉強した．
関数\( f(x) \)が閉区間\([a,b]\)で連続
\( \Longrightarrow \) \(f(x)\)が最大値をとる\(x\)と最小値をとる\(x\)が存在する．
今回，これは自明なものとして扱う．
関数\(f(x)\)が閉区間\([a, b]\)で連続かつ開区間\((a,b)\)で微分可能かつ\(f(a)=f(b)\)
\( \Longrightarrow \) \( f'(c)=0 (a \lt c \lt b)\)を満たす\( c \)が存在する．
(ⅰ) \(f(x)\)が\(a \lt x \lt b\)で\( f(a) = f(b) \lt f(x)\)を満たす\(x\)が存在するときを考える．
最大値・最小値の定理より，\(f(x)\)は最大値\(f(c)\)（ただし\( a\lt c \lt b \)）をとる．
関数\(f(x)\)は開区間\((a,b)\)で微分可能なので，\(f'(c)\)が存在する．その値を考える．
\(f(c)\)は最大値なので，\(h \neq 0\)である実数\(h\)に対して \[ f(c) \geqq f(c+h) \Leftrightarrow f(c+h)-f(c) \geqq 0 \] が成り立つ．
なので， \[ \begin{eqnarray} f'(c)= \begin{cases} \displaystyle \lim_{ h \to +0 } \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geqq 0 & (h\gt 0) \\ \displaystyle \lim_{ h \to +0 } \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leqq 0 & (h\lt 0) \\ \end{cases} \end{eqnarray} \]
以上より，\(f'(c)=0\)
(ⅱ) \(f(x)\)が\(a \lt x \lt b\)で\( f(x)\lt f(a) = f(b)\)を満たす\(x\)が存在するとき．
同様にして\( f'(c)=0 \)（\(a \lt c \lt b \)）となる\( c \)が存在する．
(ⅲ) \(f(x)\)が\(a \lt x \lt b\)で定数関数の場合，常に\( f'(x) = 0 \)（\(a \lt x \lt b\)）である．
2つの関数\(f(x),g(x)\)が開区間\([a,b]\)で連続，閉区間\((a,b)\)に微分可能，\(g(a) \neq g(b)\)，\(g'(x) \neq 0 \) （\(a \lt x \lt b\)）
\( \Longrightarrow \ \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\)（\(a \lt c \lt b \)） を満たす\( c \)が存在する．
（天下り的だが） \[ F(x)=\{g(a)-g(b) \} f(x)- \{ f(a)-f(b) \} g(x) \tag{①} \] を考える．
このとき \[ F(a) = F(b) = -f(a)g(b) + f(b)g(a) \]であり，かつ，\( F(x) \)は開区間\([a,b]\)で連続，閉区間\((a,b)\)に微分可能である．
よって，ロルの定理より，\( F'(c) = 0 \)（\(a \lt c \lt b \)）となる\( \ c \ \)が存在する．
①の両辺を\(x\)で微分すると \[ F'(x) = \{g(a)-g(b) \} f'(x)- \{ f(a)-f(b) \} g'(x) \]
よって \[ \begin{align} &F'(c) = 0 \\ \Leftrightarrow \ &\{g(a)-g(b) \} f'(c)- \{ f(a)-f(b) \} g'(c) = 0 \end{align} \]
これを変形すると，\( g(a)-g(b) \neq 0, g(c) \neq 0 \)なので\[ \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \]
関数\( f(x),g(x) \)が\( x=a \)付近で微分可能，\( f(a)=g(a)=0 \)
\(\Longrightarrow \displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)
(ⅰ) 右側極限\( x \rightarrow a+0\)で考える．
\( b \) を\(a \lt b \) かつ \( a \)に限りなく近い数とする．
閉区間\( (a,b) \)において，関数\( f(x), g(x)\)は微分可能であり，また，\( f(a) = f(a) = 0 \)である．
なので，コーシーの平均値の定理より，\[ \displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}（a\lt c \lt b） \]
\( f(a) = g(a) = 0 \)を代入すると，\[ \displaystyle \frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \]
\( b \rightarrow a+0 \)のとき，\( a \lt c \lt b\)なのではさみうちの原理より\( c \rightarrow a+0 \)となる．
よって\[ \displaystyle \lim_{b \to a+0} \frac{f(b)}{g(b)} = \lim_{c \to a+0} \frac{f'(c)}{g'(c)} \]
(ⅱ) \( x \rightarrow a -0 \)に関して
\( b \ \)を\( \ b \lt a \) かつ \( \ a \ \)に限りなく近い数とし，閉区間\( \ (b, a) \ \)での\(\ f'(c) \ \)について考えればよい．
関数\( f(x),g(x) \)が\( x=a \)を除く\( x=a \)の付近で微分可能，\( \displaystyle\lim_{x \to a}{f(x)}=\infty, \lim_{x \to a}{g(x)}=\infty \)
\( \Longrightarrow \displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)
簡単のため，右側極限\( x \rightarrow a+0\)で考える．
まず，\( \displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = \alpha \)とおく．
このとき，\( \epsilon_0 \)を十分小さい正の数とすると，
\[ \displaystyle 0 \lt |x-a| \lt \delta_0 \Longrightarrow | \frac{f'(x)}{g'(x)}-\alpha | \lt \epsilon_0 \tag{①} \]となる\(\ \delta_0\ \)が存在する．
（ただし，閉区間\( (a,a+\delta_0) \)で関数\( f(x), g(x) \)が微分可能となるように\(\delta_0\)を選ぶ）
ここで，\( \displaystyle a \lt b \lt c \lt x \lt a+\delta_0\) もしくは となる実数\( \displaystyle \ b, c \ \)を考える．
（右側極限では\(a-\delta_0 \lt x \lt c \lt b \lt a\)を考えればよい）
ただし\( \ c \ \)は\( \displaystyle \frac{f(x)-f(b)}{g(x)-g(b)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \)……②を満たす実数とし，この存在はコーシーの平均値の定理より証明できる．
このとき，\( 0 \lt |c-a| \lt \delta_0 \)なので，①に\(x = c\)を代入して \[ \displaystyle | \frac{f'(c)}{g'(c)}-\alpha | \lt \epsilon_0 \] となる．
また，②を変形すると\[ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \frac{1-\dfrac{g(b)}{g(x)}}{1-\dfrac{f(b)}{f(x)}} \tag{③}\]となる．
ここで，\( \displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty , \displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \infty\)より \[ \displaystyle \lim_{x \to a}\frac{1-\dfrac{g(b)}{g(x)}}{1-\dfrac{f(b)}{f(x)}} = 1 \] である．
つまり，\(\epsilon_0\)に対し， \[ 0 \lt |x-a| \lt \delta_1 \Longrightarrow |\displaystyle \frac{1-\dfrac{g(b)}{g(x)}}{1-\dfrac{f(b)}{f(x)}}-1| \lt \epsilon_0 \tag{④} \] を満たす\(\ \delta_1 \ \)が存在する．
簡単のため\(\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=A, \dfrac{1-\dfrac{g(b)}{g(x)}}{1-\dfrac{f(b)}{f(x)}} =B \)とおくと，③より \[ \displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}= AB \] となる．
ここで \[ \begin{align} |AB-\alpha | &= |\{(A-\alpha )+\alpha \} \{(B-1)+1\} -\alpha| \\ &= |(A-\alpha)(B-1) + (\alpha+1)(B-1)| \end{align} \] と変形できる．
①より\( |A-\alpha| \lt \epsilon \)，④より\( |B-1| \lt \epsilon \)なので， \[ |AB-\alpha| \lt {\epsilon_0} ^{2} + |\alpha + 1|\epsilon_0 \] となる．
\( \epsilon_0 \)は十分小さい数なので，\( {\epsilon_0} ^2 \lt \epsilon_0 \)と考えることができ， \[ |AB-\alpha| \lt |\alpha + 2| \epsilon_0 \] がいえる．
以上より，十分に小さい正の数\( \ \epsilon_2 \ \)を\( \epsilon_2 < \dfrac{\epsilon_0}{|\alpha +2|} \)となるようにおき，\( \delta_2 = min(\delta_0 , \ \delta_1)\)とおく．
そうすると， \[ \begin{align} 0 \lt |x-\alpha| \lt \delta_2 &\Longrightarrow 0 \lt |c-\alpha| \lt |x-\alpha| \lt \delta_0, \ 0\lt |x-\alpha| \lt \delta_1 \\ &\Longrightarrow |\dfrac{f'(c)}{g'(c)}-\alpha | \lt \epsilon_0, \ | \dfrac{1- \dfrac{g(b)}{g(x)}}{1- \dfrac{f(b)}{f(x)}}-1| \lt \epsilon_0 \\ &\Longrightarrow |\dfrac{f(x)}{g(x)} - \alpha | = | \dfrac{f'(c)}{g'(c)} \cdot \dfrac{1- \dfrac{g(b)}{g(x)}}{1- \dfrac{f(b)}{f(x)}} - \alpha | \lt |\alpha + 2|\epsilon_0 \lt \epsilon_1 \end{align} \]
つまり \[ \displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f'x)}{g(x)}} = \alpha = \displaystyle \lim_{x \to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} \] である．