面白いTweet定積分と整数

Twitterでみつけた面白いツイートを取り上げるページ．こういうのを考え付く人って凄い！天才！！尊敬する！！！

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— ポテト一郎?? (@potetoichiro) August 11, 2021

問題

\( a \lt b \) である自然数\( a, b \) を考える． \[ \displaystyle \int_a^b xdx=10^{[\log_{10}{b} ] +1}\cdot a + b \] を満たす\( a, b \)の組み合わせを求めよ．

解答例

\( \int_a^b xdx = \displaystyle \frac{b^2-a^2}{2} \)なので，与式は \[ \displaystyle a^2 + 2 \cdot 10^{[\log_{10}{b} ] +1}\cdot a - b^2+2b =0 \] と変形できる．

これを\( a \) について解くと， \[ \displaystyle a = -10^{[\log_{10}{b} ] +1} + \sqrt{ 10^{2 ([\log_{10}{b} ] +1 )} + b^2 - 2b} \] となる．

\( a \in \mathbb{N} \Longleftrightarrow \) 「\( b \geqq 2 \)」 かつ 「\( 10^{2 ([\log_{10}{b} ] +1 )} + b^2 - 2b \) が平方数」
なんだけど，それを満たす自然数 \( b \) の条件が分からん！

Javascriptコード例

これ以上は分からんので，コンピュータのチカラを借りる！！ Javascriptはよく分からんが，ネットで調べながら頑張って書く！！！ ……とはいえ， \(b = 2 \) から順に調べていくのも効率が悪そうだ．

ここで， \[10^{2 ([\log_{10}{b} ] +1 )} + b^2 - 2b \equiv b^2 - 2b \pmod {100} \] であることを利用する．

\( n^2 \equiv 0, 1, 4, 5, 6, 9 \pmod{10} (n \in \mathbb{N}) \) である性質を利用すると， \[　\displaystyle　\begin{eqnarray} & & 10^{2 ([\log_{10}{b} ] +1 )} + b^2 - 2b &\in& \{n^2|n \in \mathbb{N} \} \\ &\Rightarrow& 10^{2 ([\log_{10}{b} ] +1 )} + b^2 - 2b &\equiv& 0, 1, 4, 5, 6, 9 \pmod{10} \\ &\Leftrightarrow& b^2 - 2b &\equiv& 0, 1, 4, 5, 6, 9 \pmod{10} \\ &\Leftrightarrow& b &\equiv& 0, 1, 2, 5, 6, 7 \pmod{10} \end{eqnarray} \]

つまり， \[ \displaystyle b \equiv 3, 4, 8, 9 \pmod{10} \] のとき，処理をスキップすればよい．スクリプトは以下のようになる．

let bad_remainder = [3, 4, 8, 9];
for ( b = 2; b <= 44919786; b ++){
	if ( bad_remainder.includes(b % 10) ){
		continue;　// bを10で割った余りが3, 4, 8, 9のときは処理スキップ
	}
	digit = Math.floor(Math.log10(b)) + 1; // 桁数
	rooted_value = Math.sqrt( 10 ** (digit * 2) + b ** 2 - b * 2 ); // ルート
	if( Number.isInteger(rooted_value) ){ // ルートが整数の場合
		a = rooted_value - 10 ** digit;
		formula_left_side = (b ** 2 - a ** 2) /2;
		output_line = "(a, b) = (" + String(a) + ", " + String(b) + ") のとき左辺 = " + String(formula_left_side) + "<br>";
		document.getElementById("script_result").insertAdjacentHTML("beforeend", output_line);
	}
}

出力

類題

\( n \in \mathbb{N}, a_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{n} (20 \cdot 100^{n-1}), b_n = 10{a_n}+2 \) とする．このとき， \[ \displaystyle \int_{a_n}^{b_n} xdx=10^{[\log_{10}{b_n} ] +1}\cdot {a_n} + {b_n} \] であることを示せ．

類題の解答例

与式を計算すると， \[ \displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_n &=& \displaystyle\frac{20(100^n-1)}{99} \\ b_n &=& \displaystyle\frac{200 \cdot 100^n - 2}{99} \end{array} \right. \end{eqnarray} \]

よって \[ \displaystyle \begin{eqnarray} \int_{a_n}^{b_n} xdx &=& \displaystyle \frac{{b_n}^2-{a_n}^2}{2} \\ &=& \frac{2(100^{2n+1} -1)}{99} \end{eqnarray} \]

一方で， \[ \displaystyle \begin{eqnarray} [\log_{10}{b_n}] &\fallingdotseq& [ \log_{10}{2.02 \cdot 100^n}] \\ &=&[2n+ \log_{10}{2.02}] \\ &=& 2n \end{eqnarray} \] となる．（ここはてきとー）

したがって， \[ \displaystyle \begin{eqnarray} 10^{[\log_{10}{b_n} ] +1}\cdot {a_n} + {b_n} &=& 10^{2n+1} \cdot \frac{20(100^n-1)}{99} + \frac{200 \cdot 100^n - 2}{99} \\ &=& \frac{2(100^{2n+1} -1)}{99} \end{eqnarray} \] となり，命題は証明された．

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