Twitterでみつけた面白いツイートを取り上げる．こういうのを考え付く人って凄い！天才！！尊敬する！！！
【8月9日】
— ポテト一郎?? (@potetoichiro) August 8, 2021
今日8月9日はフィボナッチ数列の日です．1/89を小数にしてみて下さい．なんと，フィボナッチ数列が現れます．不思議ですね！ pic.twitter.com/RMhaL7afXj
\( a_1 = 0, a_2 = 1, a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n}\)のとき，\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n} \)を求めよ．
\( x \) についての二次方程式\( x^2 - x - 1 = 0 \) の解を\( \alpha , \beta \) （\(\alpha \lt \beta \)）とする．
このとき，\( \alpha + \beta = 1, \alpha \beta = -1 \)であり， \[ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+2} - \alpha a_{n+1} &=& \beta(a_{n+1} - \alpha a_{n}) \\ a_{n+2} - \beta a_{n+1} &=& \alpha(a_{n+1} - \beta a_{n}) \end{array} \right. \end{eqnarray} \] と変形できる．
\( a_1 = 0, a_2=1 \)なので， \[ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1} - \alpha a_{n} &=& \beta^{n-1} \\ a_{n+1} - \beta a_{n} &=& \alpha^{n-1} \end{array} \right. \end{eqnarray} \] となる．
両辺をそれぞれ引いて \[ \displaystyle a_{n} = \frac{\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}}{\alpha - \beta}\] が導ける．
\(\displaystyle \alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}, \beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2} \)を代入すると， \[ \displaystyle a_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^{n-1} \right\} \] となる．
よって \[ \displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{10^n} &=& \frac{1}{10\sqrt{5}} \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{20} \right)^{n-1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{20} \right)^{n-1} \right\} \\ &=& \frac{1}{10\sqrt{5}} \left( \frac{1}{1-\frac{1+\sqrt{5}}{20}} - \frac{1}{1-\frac{1-\sqrt{5}}{20}} \right) \\ &=& \frac{1}{89} \end{eqnarray} \]